高考数学第一轮直线的相互关系精品导学案复习
【高考要求】：直线的平行关系与垂直关系（B）；两条直线的交点（B）；
两点间的距离、点到直线的距离（B）
上海油压工作室 【学习目标】：能根据斜率判定两条直线平行或垂直；了解二元一次方程组的解与两直线的交点坐标之间的关系,数形结合思想；能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；掌握两点间的距离公式和点到直线的距离公式及其简单应用；会求两条平行直线间的距离.
【知识复习与自学质疑】
（一）问题：
1、如何根据两条直线的斜率判断直线的位置关系？
上海油压工作室 2、二元一次方程组的解与两直线的交点坐标之间的关系如何？
3、点到直线的距离公式是什么？两条平行线之间的距离呢？
（二）练习：
上海油压工作室 1、已知点P(3,5),直线L:3x-2y-7=0,,则过点P且与L平行的直线的方程为
；过点P且与L垂直的直线的方程为 ,点P到直线L的距离为 ；直线L与直线6x-4y+1=0间的距离为 .
2、设直线a:x+my+6=0和b:(m-2)x+3y+2m=0，当m= 时 ， ；当m= 时a 时a与b相交，当m= 时 a与b重合。
上海油压工作室 3、若两条直线不重合的直线分别为a： 和 则a 的充要条件为 a 的充要条件为 .
【例题精讲】
1、已知两条直线a:(3+m)x+4y=5-3m,b:2x+(5+m)y=8. 问:当m分别为何值时,a与b （1）相交？（2）平行？（3）垂直？
2、已知直线a经过P（3，1），且被两条平行直线b:x+y+1=0和c:x+y+6=0截得的线段之长为5，求直线a的方程。
3、在直线L:3x-y-1=0上求一点P，使得
（1）P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；
（2）P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小。
【矫正反馈】
1、若直线a;y=kx+k+2与b:y=-2x+4的交点在第一象限，则k的取值范围是
2、已知直线m:(a+2)x+(a+3)y-5=0和n:6x+(2a-1)y－５=0
（１）当m n时，实数a的值为 （２）当m 时实数的值为
3、如果直线ax-y+2+0和3x-y-b=0关于直线x-y=0对称 ，a= b=
4、已知a,b ，直线m:x+ y+1=0与直线n: 互相垂直，则 则的最小值是 .
【迁移应用】
上海油压工作室 1、若曲线y=a y=x+a(a>0)有两个公共点，则a的取值范围是 。
上海油压工作室 2、将一张坐标纸折叠一次，使点M(0,4)与N(1,3)重合，则与点P(2004,2010)重合的坐标是 .
3、直线2x+3y-6=0关于点（１，－１）对称的直线方程是 。
4、与直线3x+4y+12=0平行，且与坐标轴构成的三角形面积是２４的直线L的方程是 。
5、已知点P(3,4),Q(a,b)关于直线x-y-1=0对称，则a= ，b=
6、在坐标平面内，与点A(1,2)距离为１,且与点B(3,1)的距离为２的直线共有
条。
上海油压工作室 7、已知直线a:mx+8y+n=0与b:2x+my-1=0互相平行，求过点(m,n)且与a,b垂直,同时被a,b截得的弦长为 的直线方程
上海油压工作室 8、已知一条光线经过点Ｐ（２，３），入射到直线Ｌ：x+y+1=0上，经过直线L反射后，恰好过点Ｑ（１,1）
（1）求入射光线所在直线的方程；（２）求这条光线从Ｐ到Ｑ经过的长度
上海油压工作室 2016届高考数学第一轮函数专项复习教案
●网络体系总览
●考点目标定位
1.理解函数的概念，了解映射的概念.
2.了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法.
3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数.
4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质.
上海油压工作室 5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质.
上海油压工作室 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.
●复习方略指南
基本函数：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数与对数函数，它们的图象与性质是函数的基石.求反函数，判断、证明与应用函数的三大特性（单调性、奇偶性、周期性）是高考命题的切入点，有单一考查（如全国2004年第2题），也有综合考查（如江苏2004年第22题）.函数的图象、图象的变换是高考热点（如全国2004年Ⅳ，北京2005年春季理2），应用函数知识解其他问题，特别是解应用题能很好地考查学生分析问题、解决问题的能力，这类问题在高考中具有较强的生存力.配方法、待定系数法、数形结合法、分类讨论等，这些方法构成了函数这一章应用的广泛性、解法的多样性和思维的创造性，这均符合高考试题改革的发展趋势.
特别在“函数”这一章中，数形结合的思想比比皆是，深刻理解和灵活运用这一思想方法，不仅会给解题带来方便，而且这正是充分把握住了中学数学的精髓和灵魂的体现.
复习本章要注意：
上海油压工作室 1.深刻理解一些基本函数，如二次函数、指数函数、对数函数的图象与性质，对数与形的基本关系能相互转化.
2.掌握函数图象的基本变换，如平移、翻转、对称等.
3.二次函数是初中、高中的结合点，应引起重视，复习时要适当加深加宽.二次函数与二次方程、二次不等式有着密切的联系，要沟通这些知识之间的内在联系，灵活运用它们去解决有关问题.
4.含参数函数的讨论是函数问题中的难点及重点，复习时应适当加强这方面的训练，做到条理清楚、分类明确、不重不漏.
上海油压工作室 5.利用函数知识解应用题是高考重点，应引起重视.
2.1函数的概念
●知识梳理
1.函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中x叫做自变量.x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f（x）x∈A}叫做函数的值域.
上海油压工作室 2.两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f.当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.
3.映射的定义：一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A、B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→B.
由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A、B非空且皆为数集.
特别提示
函数定义的三要素是理解函数概念的关键，用映射的观点理解函数概念是对函数概念的深化.
●点击双基
1.设集合A=R，集合B=正实数集，则从集合A到集合B的映射f只可能是
A.f:x→y=xB.f:x→y=
上海油压工作室 C.f:x→y=3－xD.f:x→y=log2（1+x）
解析：指数函数的定义域是R，值域是（0，+∞），所以f是x→y=3－x.
答案：C
2.设M={x－2≤x≤2}，N={y0≤y≤2}，函数f（x）的定义域为M，值域为N，则f（x）的图象可以是
上海油压工作室 解析：A项定义域为［－2，0］，D项值域不是［0，2］，C项对任一x都有两个y与之对应，都不符.故选B.
答案：B
3.（2004年全国Ⅰ，理2）已知函数f（x）=lg ，若f（a）=b，则f（－a）等于
A.bB.－bC. D.－
上海油压工作室 解析：f（－a）=lg =－lg =－f（a）=－b.
【答案】B
4.（2004年全国Ⅲ，理5）函数y= 的定义域是
上海油压工作室 A.［－ ，－1）∪（1， ］B.（－ ，－1）∪（1， ）
上海油压工作室 C.［－2，－1）∪（1，2］D.（－2，－1）∪（1，2）
上海油压工作室 解析： － ≤x＜－1或1＜x≤ .∴y= 的定义域为［－ ，－1）∪（1， ］.
答案：A
5.（2004年浙江，文9）若函数f（x）=loga（x+1）（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是［0，1］，则a等于
A. B. C. D.2
解析：f（x）=loga（x+1）的定义域是［0，1］，∴0≤x≤1，则1≤x+1≤2.
当a＞1时，0=loga1≤loga（x+1）≤loga2=1，∴a=2；
当0＜a＜1时，loga2≤loga（x+1）≤loga1=0，与值域是［0，1］矛盾.
上海油压工作室 综上，a=2.
答案：D
●典例剖析
上海油压工作室 【例1】试判断以下各组函数是否表示同一函数？
（1）f（x）= ，g（x）= ；
（2）f（x）= ，g（x）=
上海油压工作室 （3）f（x）= ，g（x）=（ ）2n－1（n∈N*）；
（4）f（x）= ，g（x）= ；
上海油压工作室 （5）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1.
剖析：对于两个函数y=f（x）和y=g（x），当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y=f（x）和y=g（x）才表示同一函数.若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然.
上海油压工作室 解：（1）由于f（x）= =x，g（x）= =x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数.
（2）由于函数f（x）= 的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），而g（x）= 的定义域为R，所以它们不是同一函数.
上海油压工作室 （3）由于当n∈N*时，2n±1为奇数，∴f（x）= =x，g（x）=（ ）2n－1=x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数.
上海油压工作室 （4）由于函数f（x）= 的定义域为{xx≥0}，而g（x）= 的定义域为{xx≤－1或x≥0}，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.
上海油压工作室 （5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数.
上海油压工作室 评述：（1）第（5）小题易错判断成它们是不同的函数，原因是对函数的概念理解不透.要知道，在函数的定义域及对应法则f不变的条件下，自变量变换字母，以至变换成其他字母的表达式，这对于函数本身并无影响，比如f（x）=x2+1，f（t）=t2+1，f（u+1）=（u+1）2+1都可视为同一函数.
上海油压工作室 （2）对于两个函数来讲，只要函数的三要素中有一要素不相同，则这两个函数就不可能是同一函数.
【例2】集合A={3，4}，B={5，6，7}，那么可建立从A到B的映射个数是__________，从B到A的映射个数是__________.
剖析：从A到B可分两步进行：第一步A中的元素3可有3种对应方法（可对应5或6或7），第二步A中的元素4也有这3种对应方法.由乘法原理，不同的映射种数N1＝3×3＝9.反之从B到A，道理相同，有N2＝2×2×2＝8种不同映射.
答案：98
深化拓展
设集合A中含有4个元素，B中含有3个元素，现建立从A到B的映射f:A→B，且使B中每个元素在A中都有原象，则这样的映射有___________________个.
提示：因为集合A中有4个元素，集合B中有3个元素，根据题意，A中必须有2个元素有同一个象，因此，共有C A =36个映射.
答案：36
上海油压工作室 【例3】（2004年广东，19）设函数f（x）=1－ （x＞0），证明：当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，ab＞1.
剖析一：f（a）=f（b） 1－ =1－ （1－ ）2=（1－ ）2 2ab=a+b≥2 ab＞1.
证明：略.
剖析二：f（x）=
证明：f（x）在（0，1］上是减函数，在（1，+∞）上是增函数.由0＜a＜b且f（a）=f（b），得0＜a＜1＜b且 －1=1－ ，即 + =2 a+b=2ab≥2 ab＞1.
评注：证法一、证法二是去绝对值符号的两种基本方法.
●闯关训练
夯实基础
上海油压工作室 1.设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n＋n，则在映射f下，象20的原象是
上海油压工作室 A.2B.3C.4D.5
上海油压工作室 解析：由2n＋n＝20求n，用代入法可知选C.
答案：C
上海油压工作室 2.某种型号的手机自投放市场以来，经过两次降价，单价由原来的2000元降到1280元，则这种手机平均每次降价的百分率是
A.10%B.15%C.18%D.20%
解析：设降价百分率为x%，
∴2000（1－x%）2=1280.解得x=20.
答案：D
上海油压工作室 3.（2004年全国Ⅲ，理11）设函数f（x）= 则使得f（x）≥1的自变量x的取值范围为
A.（－∞，－2］∪［0，10］B.（－∞，－2］∪［0，1］
C.（－∞，－2］∪［1，10］D.［－2，0］∪［1，10］
解析：f（x）是分段函数，故f（x）≥1应分段求解.
当x＜1时，f（x）≥1 （x+1）2≥1 x≤－2或x≥0，∴x≤－2或0≤x＜1.
当x≥1时，f（x）≥1 4－ ≥1 ≤3 x≤10，∴1≤x≤10.
上海油压工作室 综上所述，x≤－2或0≤x≤10.
答案：A
4.（2004年浙江，文13）已知f（x）= 则不等式xf（x）+x≤2的解集是___________________.
解析：x≥0时，f（x）=1，
上海油压工作室 xf（x）+x≤2 x≤1，∴0≤x≤1；
上海油压工作室 当x＜0时，f（x）=0，
xf（x）+x≤2 x≤2，∴x＜0.综上x≤1.
上海油压工作室 答案：{xx≤1}
5.（2004年全国Ⅳ，文）已知函数y=log x与y=kx的图象有公共点A，且A点的横坐标为2，则k的值等于
A.－ B. C.－ D.
解析：由点A在y=log x的图象上可求出A点纵坐标y=log 2=－ .又A（2，－ ）在y=kx图象上，－ =k?2，∴k=－ .
答案：A
培养能力
6.如下图，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BCDA由B点（起点）向A点（终点）移动，设P点移动的路程为x，△ABP的面积为y=f（x）.
上海油压工作室 （1）求△ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式；
（2）作出函数的图象，并根据图象求y的最大值.
上海油压工作室 解：（1）这个函数的定义域为（0，12）.
上海油压工作室 当0＜x≤4时，S=f（x）= ?4?x=2x；
当4＜x≤8时，S=f（x）=8；
当8＜x＜12时，S=f（x）= ?4?（12－x）=2（12－x）=24－2x.
∴这个函数的解析式为f（x）=
（2）其图形为
由图知，［f（x）］max=8.
上海油压工作室 7.若f:y=3x+1是从集合A={1，2，3，k}到集合B={4，7，a4，a2+3a}的一个映射，求自然数a、k的值及集合A、B.
上海油压工作室 解：∵f（1）=3×1+1=4，f（2）=3×2+1=7，f（3）=3×3+1=10，f（k）=3k+1，由映射的定义知（1） 或（2）
上海油压工作室 ∵a∈N，∴方程组（1）无解.
解方程组（2），得a=2或a=－5（舍），3k+1=16，3k=15，k=5.∴A={1，2，3，5}，B={4，7，10，16}.
上海油压工作室 8.如果函数f（x）=（x+a）3对任意x∈R都有f（1+x）=－f（1－x），试求f（2）+f（－2）的值.
解：∵对任意x∈R，总有f（1+x）=－f（1－x），
上海油压工作室 ∴当x=0时应有f（1+0）=－f（1－0），
即f（1）=－f（1）.∴f（1）=0.
又∵f（x）=（x+a）3，∴f（1）=（1+a）3.
上海油压工作室 故有（1+a）3＝0 a=－1.∴f（x）=（x－1）3.
∴f（2）+f（－2）=（2－1）3＋（－2－1）3＝13＋（－3）3＝－26.
探究创新
9.集合M={a，b，c}，N={－1，0，1}，映射f:M→N满足f（a）+f（b）+f（c）=0，那么映射f:M→N的个数是多少？
解：∵f（a）∈N，f（b）∈N，f（c）∈N，且f（a）+f（b）+f（c）=0，
上海油压工作室 ∴有0+0+0=0+1+（－1）=0.
上海油压工作室 当f（a）=f（b）=f（c）=0时，只有一个映射；
当f（a）、f（b）、f（c）中恰有一个为0，而另两个分别为1，－1时，有C ?A =6个映射.因此所求的映射的个数为1+6=7.
评述：本题考查了映射的概念和分类讨论的思想.
●思悟小结
上海油压工作室 1.本节重点内容是函数概念、定义域、值域，难点是映射及其意义.
2.理解映射的概念，应注意以下几点：
（1）集合A、B及对应法则f是确定的，是一个系统；
（2）对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从集合B到集合A的对应关系一般是不同的；
（3）集合A中每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的，这是映射区别于一般对应的本质特征；
上海油压工作室 （4）集合A中不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个；
上海油压工作室 （5）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.
3.函数的定义域是构成函数的非常重要的部分，如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围，即分式中分母应不等于0；偶次根式中被开方数应为非负数；零指数幂中，底数不等于0，负分数指数幂中，底数应大于0；对数式中，真数必须大于0，底数必须大于0且不等于1……实际问题中还需考虑自变量的实际意义.若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集.
●教师下载中心
点睛
上海油压工作室 1.复习本节时，教师应先指导学生看课本，并对课本上的重要知识点归纳总结，对课本上的典型例题、典型习题要让学生再做，并注重一题多解、一题多变.
上海油压工作室 2.画分段函数的图象，求分段函数的定义域、值域是本节的一个难点.时，要指导学生按x的特点分好段，并向学生指明分段函数其实是一个函数，只是由于该函数在自变量取值的各个阶段其对应关系不一样才以分段式给出，因此它的定义域、值域应是各阶段相应集合的并集.
拓展题例
【例1】设f（x）是定义在（－∞，+∞）上的函数，对一切x∈R均有f（x）+f（x+2）=0，当－1＜x≤1时，f（x）=2x－1，求当1＜x≤3时，函数f（x）的解析式.
解：设1＜x≤3，则－1＜x－2≤1，又对任意的x，有f（x）+f（x+2）=0，∴f（x+2）=－f（x）.∴f（x－2）=－f［（x－2）+2］=－f（x）.又－1＜x－2≤1时，f（x－2）=2（x－2）－1=2x－5，∴f（x）=－f（x－2）=－2x+5（1＜x≤3）.
上海油压工作室 评述：将1＜x≤3转化成－1＜x－2≤1，再利用已知条件是解本题的关键.
上海油压工作室 【例2】设m=（log2x）2+（t－2）log2x+1－t，若t在区间［－2，2］上变化时，m值恒正，求x的取值范围.
解：由m=［log2x+（t－1）］（log2x－1）＞0，得
①或 ②
在①中，（log2x－1）+t＞0对于t∈［－2，2］恒成立时，应有log2x－1＞2，即x＞8；
上海油压工作室 在②中，（log2x－1）+t＜0对于t∈［－2，2］恒成立时，应有log2x－1＜－2，即0＜
x＜ .
综上，得x＞8或0＜x＜ .
评述：本题还可用如下方法求解：m=（log2x－1）t+［（log2x）2－2log2x+1］关于变量t的图象是直线，要t∈［－2，2］时m值恒正，只要t=－2和2时m的值恒正，即有
上海油压工作室 ∴log2x＞3或log2x＜－1.
2016届高考数学第一轮立体几何专项复习：平面与平面的位置关系
上海油压工作室 1.2.4 平面与平面的位置关系
第1课时 两平面平行的判定及性质
【课时目标】 1．理解并掌握两个平面平行、两个平面相交的定义．2．掌握两个平面平行的判定和性质定理，并能运用其解决一些具体问题．
1．平面与平面平行的判定定理
上海油压工作室 如果一个平面内有________________都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．用符号表示为________________________．
上海油压工作室 2．平面与平面平行的性质定理：
上海油压工作室 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，________________________．
符号表示为：________________?a∥b．
上海油压工作室 3．面面平行的其他性质：
(1)两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于________________，即α∥βa?α?
________，可用来证明线面平行；
(2)夹在两个平行平面间的平行线段________；
上海油压工作室 (3)平行于同一平面的两个平面________．
一、填空题
上海油压工作室 1．平面α∥平面β，a?α，b?β，则直线a、b的位置关系是__________．
2．下列各命题中假命题有________个．
上海油压工作室 ①平行于同一直线的两个平面平行；
②平行于同一平面的两个平面平行；
上海油压工作室 ③一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个相交；
④若平面α内两条直线与平面β内两条直线分别平行，则α∥β．
上海油压工作室 3．过正方体ABCD－A1B1C1D1的三个顶点A1、C1、B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．
上海油压工作室 4．α和β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是________．(填序号)
①α内有无数条直线平行于β；
上海油压工作室 ②α内不共线三点到β的距离相等；
③l、m是平面α内的直线，且l∥α，m∥β；
④l、m是异面直线且l∥α，m∥α，l∥α，m∥β．
5．已知α∥β且α与β间的距离为d，直线a与α相交于点A、与β相交于B，若AB＝233d，则直线a与α所成的角等于________．
上海油压工作室 6．如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝________．
7．α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是________(填序号)．
①a∥cb∥c?a∥b； ②a∥γb∥γ?a∥b；
③α∥cβ∥c?α∥β； ④α∥γβ∥γ?α∥β；
⑤α∥ca∥c?α∥a; ⑥α∥γa∥γ?a∥α．
上海油压工作室 8．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为________．
上海油压工作室 9．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1．
上海油压工作室 二、解答题
上海油压工作室 10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC和SC的中点．求证：平面EFG∥平面BDD1B1．
11．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N．
上海油压工作室 求证：N为AC的中点．
能力提升
12．如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，面对角线AB1，BC1上分别有两点E、F，且B1E＝C1F．求证：EF∥平面ABCD．
13．如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心．
上海油压工作室 (1)求证平面MNG∥平面ACD；
上海油压工作室 (2)求S△MNG∶S△ADC．
上海油压工作室 1．判定平面与平面平行的常用方法有：(1)利用定义，证明两个平面没有公共点，常用反证法．(2)利用判定定理．(3)利用平行平面的传递性，即α∥β，β∥γ，则α∥γ．
上海油压工作室 2．平面与平面平行主要有以下性质：(1)面面平行的性质定理．(2)两个平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面．(3)夹在两个平行平面之间的平行线段相等．
上海油压工作室 1．2．4 平面与平面的位置关系
第1课时 两平面平行的判定及性质
答案
知识梳理
1．两条相交直线
a?α，b?α，a∩b＝A，a∥β，b∥β?α∥β
2．那么所得的两条交线平行 α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b
上海油压工作室 3．(1)另一个平面 a∥β (2)相等 (3)平行
作业设计
上海油压工作室 1．平行或异面 2．2
3．平行
上海油压工作室 解析 由面面平行的性质可知第三平面与两平行平面的交线是平行的．
4．④ 5．60°
6．4∶25
上海油压工作室 解析 面α∥面ABC，面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，∴AB∥A′B′，同理B′C′∥BC，
上海油压工作室 易得△ABC∽△A′B′C′，
上海油压工作室 S△A′B′C′∶S△ABC＝(A′B′AB)2＝(PA′PA)2＝425．
7．②③⑤⑥
上海油压工作室 解析 由公理4及平行平面的传递性知①④正确．举反例知②③⑤⑥不正确．②中a，b可以相交，还可以异面；③中α，β可以相交；⑤中a可以在α内；⑥中a可以在α内．
8．24或245
解析 当P点在平面α和平面β之间时，由三角形相似可求得BD＝24，当平面α和平面β在点P同侧时可求得BD＝245．
9．M∈线段FH
解析 ∵HN∥BD，HF∥DD1，
HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，
∴平面NHF∥平面B1BDD1，
上海油压工作室 故线段FH上任意点M与N连结，
上海油压工作室 有MN∥平面B1BDD1．
10．
证明 如图所示，连结SB，SD，
∵F、G分别是DC、SC的中点，
∴FG∥SD．
上海油压工作室 又∵SD?平面BDD1B1，FG?平面BDD1B1，
∴直线FG∥平面BDD1B1．
同理可证EG∥平面BDD1B1，
上海油压工作室 又∵EG?平面EFG，
FG?平面EFG，
上海油压工作室 EG∩FG＝G，
∴平面EFG∥平面BDD1B1．
上海油压工作室 11．证明 ∵平面AB1M∥平面BC1N，
上海油压工作室 平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，
上海油压工作室 平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，
∴C1N∥AM，又AC∥A1C1，
上海油压工作室 ∴四边形ANC1M为平行四边形，
∴AN?C1M＝12A1C1＝12AC，
上海油压工作室 ∴N为AC的中点．
12．证明 方法一 过E、F分别作AB、BC的垂线，EM、FN分别交AB、BC于M、N，连结MN．
上海油压工作室 ∵BB1⊥平面ABCD，
∴BB1⊥AB，BB1⊥BC，
∴EM∥BB1，FN∥BB1，
∴EM∥FN，
∵AB1＝BC1，B1E＝C1F，
∴AE＝BF，
又∠B1AB＝∠C1BC＝45°，
上海油压工作室 ∴Rt△AME≌Rt△BNF，
∴EM＝FN．
上海油压工作室 ∴四边形MNFE是平行四边形，
∴EF∥MN．
又MN?平面ABCD，EF?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD．
方法二
上海油压工作室 过E作EG∥AB交BB1于G，连结GF，
上海油压工作室 ∴B1EB1A＝B1GB1B，B1E＝C1F，B1A＝C1B，∴C1FC1B＝B1GB1B，
∴FG∥B1C1∥BC．
上海油压工作室 又∵EG∩FG＝G，AB∩BC＝B，
上海油压工作室 ∴平面EFG∥平面ABCD．
上海油压工作室 又EF?平面EFG，∴EF∥平面ABCD．
上海油压工作室 13．(1)证明 (1)连结BM，BN，BG并延长分别交AC，AD，CD于P，F，H．
∵M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心，
上海油压工作室 则有BMMP＝BNNF＝BGGH＝2，
且P，H，F分别为AC，CD，AD的中点．
上海油压工作室 连结PF，FH，PH，有MN∥PF．
又PF?平面ACD，MN?平面ACD，
上海油压工作室 ∴MN∥平面ACD．
上海油压工作室 同理MG∥平面ACD，MG∩MN＝M，
∴平面MNG∥平面ACD．
(2)解 由(1)可知MGPH＝BGBH＝23，
∴MG＝23PH．
上海油压工作室 又PH＝12AD，∴MG＝13AD．
上海油压工作室 同理NG＝13AC，MN＝13CD．
∴△MNG∽△ACD，其相似比为1∶3．
上海油压工作室 ∴S△MNG∶S△ACD＝1∶9．
第2课时 两平面垂直的判定
上海油压工作室 【课时目标】 1．掌握二面角、二面角的平面角的概念，会求简单的二面角的大小．2．掌握两个平面互相垂直的概念，并能利用判定定理判定两个平面垂直．
1．二面角：一条直线和由这条直线出发的____________所组成的图形叫做二面角．______________叫做二面角的棱．________________叫做二面角的面．二面角α的范围为________________．
2．平面与平面的垂直
①定义：如果两个平面所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直．
上海油压工作室 ②面面垂直的判定定理
上海油压工作室 文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条______，那么这两个平面互相垂直．符号表示：l⊥α ?α⊥β．
上海油压工作室 一、填空题
1．下列命题：
①两个相交平面组成的图形叫做二面角；
②异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直，则a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；
上海油压工作室 ③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；
上海油压工作室 ④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．
其中正确的是________(填序号)．
2．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有________条．
3．设有直线m、n和平面α、β，则下列结论中正确的是________(填序号)．
①若m∥n，n⊥β，m?α，则α⊥β；
上海油压工作室 ②若m⊥n，α∩β＝m，n?α，则α⊥β；
③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β．
4．过两点与一个已知平面垂直的平面有________个．
上海油压工作室 5．在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，把菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝32，则二面角B－AC－D的大小为________．
上海油压工作室 6．在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中成立的是________(填序号)．
上海油压工作室 ①BC∥面PDF; ②DF⊥面PAE；
上海油压工作室 ③面PDF⊥面ABC; ④面PAE⊥面ABC．
7．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是________．
上海油压工作室 8．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．
上海油压工作室 9．已知α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：
上海油压工作室 ①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α．
上海油压工作室 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：____________．
二、解答题
10．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E、F、G分别为CD、DA和对角线AC的中点．
上海油压工作室 求证：平面BEF⊥平面BGD．
11．如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝3．
上海油压工作室 (1)证明：平面PBE⊥平面PAB；
(2)求二面角A—BE—P的大小．
能力提升
12．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C．
上海油压工作室 求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C．
13．如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．
(1)求证：BC⊥ 平面PAC．
(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．
上海油压工作室 1．证明两个平面垂直的主要途径
(1)利用面面垂直的定义，即如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．
(2)面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
2．利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般方法：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中存在这样的直线，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论依据并有利于证明，不能随意添加．
上海油压工作室 3．证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的的．
第2课时 两平面垂直的判定 答案
知识梳理
1．两个半平面 这条直线 每个半平面 0°≤α≤180°
2．①直二面角 ②垂线 l?β
作业设计
1．②④
解析 ①不符合二面角定义，③从运动的角度演示可知，二面角的平面角不是最小角．
2．0
上海油压工作室 解析 若存在1条，则α⊥β，与已知矛盾．
3．①③
解析 ②错，当两平面不垂直时，在一个平面内可以找到无数条直线与两个平面的交线垂直．
4．1或无数
上海油压工作室 解析 当两点连线与平面垂直时，有无数个平面与已知平面垂直，当两点连线与平面不垂直时，有且只有一个平面与已知平面垂直．
5．60°
解析
如图所示，由二面角的定义知∠BOD即为二面角的平面角．
∵DO＝OB＝BD＝32，
上海油压工作室 ∴∠BOD＝60°．
6．①②④
解析
上海油压工作室 如图所示，∵BC∥DF，
∴BC∥平面PDF．
∴①正确．
由BC⊥PE，BC⊥AE，
∴BC⊥平面PAE．
∴DF⊥平面PAE．
∴②正确．
∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)．
∴④正确．
7．45°
解析 可将图形补成以AB、AP为棱的正方体，不难求出二面角的大小为45°．
8．5
解析 由PA⊥面ABCD知面PAD⊥面ABCD，面PAB⊥面ABCD，
又PA⊥AD，PA⊥AB且AD⊥AB，
上海油压工作室 ∴∠DAB为二面角D—PA—B的平面角，
∴面DPA⊥面PAB．又BC⊥面PAB，
上海油压工作室 ∴面PBC⊥面PAB，同理DC⊥面PDA，
上海油压工作室 ∴面PDC⊥面PDA．
9．①③④?②(或②③④?①)
10．证明 ∵AB＝BC，CD＝AD，G是AC的中点，
∴BG⊥AC，DG⊥AC，
∴AC⊥平面BGD．
又EF∥AC，∴EF⊥平面BGD．
∵EF?平面BEF，∴平面BEF⊥平面BGD．
11．(1)证明 如图所示，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．
因为E是CD的中点，所以BE⊥CD．
又AB∥CD，所以BE⊥AB．
上海油压工作室 又因为PA⊥平面ABCD，
BE?平面ABCD，
所以PA⊥BE．而PA∩AB＝A，
因此BE⊥平面PAB．
又BE?平面PBE，
上海油压工作室 所以平面PBE⊥平面PAB．
上海油压工作室 (2)解 由(1)知，BE⊥平面PAB，PB?平面PAB，
所以PB⊥BE．又AB⊥BE，
上海油压工作室 所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．
上海油压工作室 在Rt△PAB中，tan∠PBA＝PAAB＝3，
上海油压工作室 则∠PBA＝60°．
故二面角A—BE—P的大小是60°．
12．证明 (1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知
EF∥BC．
上海油压工作室 因为EF?平面ABC．
BC?平面ABC．
所以EF∥平面ABC．
(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知
CC1⊥平面A1B1C1．
上海油压工作室 又A1D?平面A1B1C1，故CC1⊥A1D．
又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D?平面A1FD，
所以平面A1FD⊥平面BB1C1C．
13．(1)证明 ∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥BC．
又∠BCA＝90°，
∴AC⊥BC．又∵AC∩PA＝A，
上海油压工作室 ∴BC⊥平面PAC．
上海油压工作室 (2)解 ∵DE∥BC，又由(1)知，
上海油压工作室 BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC．
上海油压工作室 又∵AE?平面PAC，PE?平面PAC，
∴DE⊥AE，DE⊥PE．
∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．
上海油压工作室 ∵PA⊥底面ABC，
上海油压工作室 ∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°．
∴在棱PC上存在一点E，
使得AE⊥PC．
这时∠AEP＝90°，
故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．
第3课时 两平面垂直的性质
【课时目标】 1．理解平面与平面垂直的性质定理．2．能应用面面垂直的性质定理证明空间中线、面的垂直关系．
上海油压工作室 3．理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系．
1．平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内________于它们________的直线垂直于另一个平面．
上海油压工作室 用符号表示为：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?________．
2．两个重要结论：
上海油压工作室 (1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在________________________________________________________________________．
图形表示为：
符号表示为：α⊥β，A∈α，A∈a，a⊥β?________．
(2)已知平面α⊥平面β，a?α，a⊥β，那么__________(a与α的位置关系)．
一、填空题
上海油压工作室 1．平面α⊥平面β，a?α，b?β，且b∥α，a⊥b，则a和β的位置关系是________．
上海油压工作室 2．已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面α，β，有下列命题：
上海油压工作室 ①若m∥n，n?α，则m∥α；
②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；
③若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β；
上海油压工作室 ④若α⊥β，α∩β＝m，n?β，n⊥m，则n⊥α．
其中正确的命题是________(填序号)．
3．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有________条．
4．设α－l－β是直二面角，直线a?α，直线b?β，a，b与l都不垂直，那么下列说法正确的序号为________．
①a与b可能垂直，但不可能平行；
②a与b可能垂直，也可能平行；
上海油压工作室 ③a与b不可能垂直，但可能平行；
④a与b不可能垂直，也不可能平行．
5．如图，两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，设M、N分别是BD和AE的中点，那么①AD⊥MN；②MN∥平面CDE；③MN∥CE；④MN、CE异面．
上海油压工作室 其中结论正确的是________(填序号)．
6．
如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为π4和π6．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′、B′，则AB∶A′B′＝________．
7．若α⊥β，α∩β＝l，点P∈α，PD/∈l，则下列命题中正确的为________．(只填序号)
①过P垂直于l的平面垂直于β；
上海油压工作室 ②过P垂直于l的直线垂直于β；
上海油压工作室 ③过P垂直于α的直线平行于β；
上海油压工作室 ④过P垂直于β的直线在α内．
8．α、β、γ是两两垂直的三个平面，它们交于点O，空间一点P到α、β、γ的距离分别是2 cm、3 cm、6 cm，则点P到O的距离为________ cm．
9．在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在________．
上海油压工作室 二、解答题
10．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．
上海油压工作室 求证：BC⊥AB．
11．如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．
(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB．
能力提升
12．如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝2a，E为PA的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD．
13．如图所示，在多面体P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝45．
上海油压工作室 (1)设M是PC上的一点，
求证：平面MBD⊥平面PAD；
(2)求P点到平面ABCD的距离．
1．运用两个平面垂直的性质定理时，一般需要作辅助线，其基本作法是过其中一个平面内一点在此平面内作交线的垂线，这样，就把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直．
2．无论从判定还是从性质来看，线线垂直、线面垂直和面面垂直都是密切相关的，面对复杂的空间图形，要善于发现它们之间的内在联系，找出解决问题的切入点，垂直关系的转化为：
第3课时 两平面垂直的性质 答案
知识梳理
1．垂直 交线 a⊥β
2．(1)第一个平面内 a?α (2)a∥α
作业设计
1．a⊥β
2．②④
3．0
解析 若存在1条，则α⊥β，与已知矛盾．
4．③
5．①②③
6．2∶1
解析 如图：
由已知得AA′⊥面β，
上海油压工作室 ∠ABA′＝π6，
BB′⊥面α，∠BAB′＝π4，
上海油压工作室 设AB＝a，则BA′＝32a，BB′＝22a，
在Rt△BA′B′中，A′B′＝12a，∴ABA′B′＝21．
7．①③④
解析 由性质定理知②错误．
8．7
解析 P到O的距离恰好为以2 cm,3 cm,6 cm为长、宽、高的长方体的对角线的长．
9．直线AB上
解析 由AC⊥BC1，AC⊥AB，
得AC⊥面ABC1，又AC?面ABC，
∴面ABC1⊥面ABC．
上海油压工作室 ∴C1在面ABC上的射影H必在交线AB上．
10．证明 在平面PAB内，作AD⊥PB于D．
上海油压工作室 ∵平面PAB⊥平面PBC，
且平面PAB∩平面PBC＝PB．
∴AD⊥平面PBC．
上海油压工作室 又BC?平面PBC，
∴AD⊥BC．
又∵PA⊥平面ABC，
BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB．
上海油压工作室 又AB?平面PAB，
∴BC⊥AB．
11．证明
(1)连结PG，由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，
∴PG⊥AD．
又平面PAD⊥平面ABCD，
上海油压工作室 ∴PG⊥平面ABCD，
∴PG⊥BG．
上海油压工作室 又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
∴BG⊥AD．
上海油压工作室 又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD．
(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD．
所以AD⊥平面PBG，所以AD⊥PB．
12．
证明 设AC∩BD＝O，
连结EO，
上海油压工作室 则EO∥PC．∵PC＝CD＝a，
上海油压工作室 PD＝2a，
∴PC2＋CD2＝PD2，
∴PC⊥CD．
∵平面PCD⊥平面ABCD，CD为交线，
∴PC⊥平面ABCD，
上海油压工作室 ∴EO⊥平面ABCD．
又EO?平面EDB，
上海油压工作室 ∴平面EDB⊥平面ABCD．
13．(1)证明 在△ABD中，
∵AD＝4，BD＝8，AB＝45，
上海油压工作室 ∴AD2＋BD2＝AB2．∴AD⊥BD．
又∵面PAD⊥面ABCD，
面PAD∩面ABCD＝AD，
上海油压工作室 BD?面ABCD，
上海油压工作室 ∴BD⊥面PAD，又BD?面BDM，
∴面MBD⊥面PAD．
(2)解
上海油压工作室 过P作PO⊥AD，
上海油压工作室 ∵面PAD⊥面ABCD，
∴PO⊥面ABCD，
上海油压工作室 即PO为四棱锥P—ABCD的高．
又△PAD是边长为4的等边三角形，∴PO＝23．
上海油压工作室 2016届高考数学知识立体几何初步复习讲义
高中数学复习讲义 第七章 立体几何初步
【知识图解】
【方法点拨】
立体几何研究的是现实空间，认识空间图形，可以培养学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力。空间的元素是点、线、面、体，对于线线、线面、面面的位置关系着重研究它们之间的平行与垂直关系，几何体着重研究棱柱、棱锥和球。在复习时我们要以下几点：
1．注意提高空间想象能力。在复习过程中要注意：将文字语言转化为图形，并明确已知元素之间的位置关系及度量关系；借助图形来反映并思考未知的空间形状与位置关系；能从复杂图形中逻辑的分析出基本图形和位置关系，并借助直观感觉展开联想与猜想，进行推理与计算。
上海油压工作室 2．归纳总结，分门别类。从知识上可以分为：平面的基本性质、线线、线面、面面的平行与垂直、空间中角与距离的计算。
上海油压工作室 3．抓主线，攻重点。针对一些重点内容加以训练，平行和垂直是位置关系的核心，而线面垂直又是核心的核心，角与距离的计算已经降低要求。
4．复习中要加强数学思想方法的总结与提炼。立体几何中蕴含着丰富的思想方法，如：将空间问题转化成平面图形来解决、线线、线面与面面关系的相互转化、空间位置关系的判断及角与距离的求解转化成空间向量的运算。
第1课 空间几何体
【考点导读】
1．观察认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；
2．能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的`三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图；
3．通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；
上海油压工作室 4.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式。
【基础练习】
1．一个凸多面体有8个顶点，①如果它是棱锥，那么它有 14 条棱， 8 个面；②如果它是棱柱，那么它有 12 条棱 6 个面。
上海油压工作室 2.（1）如图，在正四面体A－BCD中，E、F、G分别是三角形ADC、ABD、BCD的中心，则△EFG在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是 ③④ 。
上海油压工作室 （2）如图，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是图的 ②③ （要求：把可能的图的序号都填上）.
【范例导析】
上海油压工作室 例1．下列命题中，假命题是 （1）（3） 。（选出所有可能的答案）
（1）有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
（2）四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形
（3）有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
（4）若一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体
上海油压工作室 分析：准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征是解决概念题的关键。
上海油压工作室 （1）中将两个斜棱柱对接在一起就是反例。（3）中是不是棱台还要看侧棱的延长线是否交于一点。
例2． 是正△ABC的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若 的面积为 ，那么△ABC的面积为_______________。
解析： 。
点评：该题属于斜二测画法的应用，解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之间的对应关系。特别底和高的对应关系。
例3．（1）画出下列几何体的三视图
上海油压工作室 （2）某物体的三视图如下，试判断该几何体的形状
上海油压工作室 分析：三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的三个视图。
解析：（1）这两个几何体的三视图分别如下：
上海油压工作室 （2）该几何体为一个正四棱锥。
点评：画三视图之前，应把几何体的结构弄清楚，选择一个合适的主视方向。一般先画主视图，其次画俯视图，最后画左视图。画的时候把轮廓线要画出来，被遮住的轮廓线要画成虚线。物体上每一组成部分的三视图都应符合三条投射规律。主视图反映物体的主要形状特征，主要体现物体的长和高，不反映物体的宽。而俯视图和主视图共同反映物体的长要相等。左视图和 俯视图共同反映物体的宽要相等。据此就不难得出该几何体的形状。
【反馈演练】
1．一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 。
2．如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则 = 。
上海油压工作室 解析：水面高度升高r，则圆柱体积增加πR2?r。恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此有 πr3=πR2r。故 。答案为 。
上海油压工作室 点评：本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。
3．在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°（如图所示），若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是 。
上海油压工作室 4．空间四边形 中， ， ， 分别是 边上的点，且 为平行四边形，则四边形 的周长的取值范围是_ _。
上海油压工作室 5．三棱锥 中， ，其余棱长均为1。
（1）求证： ；
上海油压工作室 （2）求三棱锥 的体积的最大值。
上海油压工作室 解：（1）取 中点 ，∵ 与 均为正三角形，
∴ 平面 。
(2)当 平面 时，三棱锥的高为 ，
此时
6．已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，它被过底面中心O1且平行于母线AB的平面所截，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）为p的抛物线.
上海油压工作室 （1）求圆锥的母线与底面所成的角；
（2）求圆锥的全面积．
上海油压工作室 解: （1）设圆锥的底面半径为R，母线长为l，
由题意得： ,
即 ,
所以母线和底面所成的角为
上海油压工作室 (2)设截面与圆锥侧面的交线为MON，
其中O为截面与AC的交点，则OO1//AB且
上海油压工作室 在截面MON内，以OO1所在有向直线为y轴，O为原点，建立坐标系，
则O为抛物线的顶点，所以抛物线方程为x2=－2py，
点N的坐标为（R，－R），代入方程得：R2=－2p（－R），
上海油压工作室 得：R=2p，l=2R=4p.
∴圆锥的全面积为 .
上海油压工作室 说明：将立体几何与解析几何相链接, 颇具新意, 预示了高考命题的新动向.
第2课 平面的性质与直线的位置关系
【考点导读】
上海油压工作室 1．掌握平面的基本性质，能够画出空间两条直线的各种位置关系，能够根据图形想象它们之间的位置关系。
上海油压工作室 2．掌握两条直线之间的平行与垂直的有关问题，并能进行解决和证明相关问题。
3．理解反证法证明的思路，会用反证法进行相关问题的证明。
【基础练习】
1 下面是一些命题的叙述语,其中命题和叙述方法都正确的是 （3） 。
（1）∵ ，∴ ． （2）∵ ，∴ ．
（3）∵ ，∴ ． （4）∵ ，∴ ．
2．下列推断中，错误的是 （4） 。
（1）
（2） ，A,B,C不共线 重合
（3）
（4）
上海油压工作室 3．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”
（1）空间三点可以确定一个平面 （ ）
上海油压工作室 （2）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合（ ）
（3）两条直线可以确定一个平面（ ）
上海油压工作室 （4）若四点不共面，那么每三个点一定不共线（ ）
（5）两条相交直线可以确定一个平面（ ）
上海油压工作室 （6）三条平行直线可以确定三个平面（ ）
（7）一条直线和一个点可以确定一个平面（ ）
上海油压工作室 （8）两两相交的三条直线确定一个平面（ ）
上海油压工作室 4．如右图，点E是正方体 的棱 的中点，则过点E与直线 和 都相交的直线的条数是： 1 条
5．完成下列证明，已知直线a、b、c不共面，它们相交于点P，Aa，Da，Bb，Ec
求证：BD和AE是异面直线
证明：假设__ 共面于g，则点A、E、B、D都在平面_ _内
QAa，Da，∴__γ. QPa，∴P__.
上海油压工作室 QPb，Bb，Pc，Ec ∴_ _g， __g，这与____矛盾
∴BD、AE__________
答案：假设BD、AE共面于g，则点A、E、B、D都在平面 g 内。
上海油压工作室 ∵Aa，Da，∴ a g. ∵Pa，P g .
∵Pb，Bb，Pc，Ec. ∴ b g，c g，这与a、b、c不共面矛盾
∴BD、AE是异面直线
【范例导析】
例1．已知 ，从平面 外一点 引向量
上海油压工作室 （1）求证：四点 共面；（2）平面 平面 ．
分析 ：证明四点共面可以采用平面向量中的平面向量基本定理证明，
上海油压工作室 也可以转化为直线共面的条件即几何证法。
解：法一：（1）∵四边形 是平行四边形，∴ ，
∴ 共面；
上海油压工作室 （2）∵ ，又∵ ，
所以，平面 平面 ．
法二：（1）
∴ 同理 又 ∴
∴ 共面；
（2）由（1）知： ，从而可证
上海油压工作室 同理可证 ，所以，平面 平面 ．
点评：熟练掌握定理是证明的关键，要学会灵活运用。
上海油压工作室 例2．已知空间四边形ABCD.
上海油压工作室 (1)求证：对角线AC与BD是异面直线;
(2)若AC⊥BD,E,F,G,H分别这四条边AB,BC,CD,DA的中点,试判断四边形EFGH的形状;
(3)若AB＝BC＝CD＝DA,作出异面直线AC与BD的公垂线段.
分析：证明两条直线异面通常采用反证法。
证明：(1)（反证法）假设AC与BD不是异面直线，则AC与BD共面，
上海油压工作室 所以A、B、C、D四点共面
上海油压工作室 这与空间四边形ABCD的定义矛盾
所以对角线AC与BD是异面直线
上海油压工作室 (2)解：∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF//AC,且EF= AC.
同理HG//AC,且HG= AC.∴EF平行且相等HG,∴EFGH是平行四边形.
又∵F,G分别为BC,CD的中点,∴FG//BD,∴∠EFG是异面直线AC与BD所成的角.
上海油压工作室 ∵AC⊥BD,∴∠EFG=90o.∴EFGH是矩形.
(3)作法取BD中点E,AC中点F,连EF,则EF即为所求.
点评：在空间四边形中我们通常会遇到上述类似的问题，取中点往往是很有效的方法，特别是遇到等腰三角形的时候。
例3．如图，已知E，F分别是正方体 的棱 和棱 上的点，且 ，求证：四边形 是平行四边形
上海油压工作室 简证：由 可以证得 ≌
上海油压工作室 所以 又可以由正方体的性质证明
上海油压工作室 所以四边形 是平行四边形
例4：如图，已知平面 ，且 是垂足．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）若 ，试判断平面 与平面 的位置关系，并证明你的结论．
上海油压工作室 解：（Ⅰ）因为 ，所以 ．
同理 ．
又 ，故 平面 ．
上海油压工作室 （Ⅱ）平面 平面 。证明如下：设 与平面 的交点为 ，
上海油压工作室 连结 、 ．因为 平面 ，所以 ，
上海油压工作室 所以 是二面角 的平面角．
又 ，所以 ，即 ．
在平面四边形 中， ，
上海油压工作室 所以 ．故平面 平面 ．
【反馈演练】
上海油压工作室 1．判断题（对的打“√”，错的打“×”）
（1）垂直于两条异面直线的直线有且只有一条（ ）
（2）两线段AB、CD不在同一平面内，如果AC=BD，AD=BC，则AB⊥CD（ ）
（3）在正方体中，相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为60（ ）
（4）四边形的一边不可能既和它的邻边垂直，又和它的对边垂直（ ）
答案：（1）× （2）× （3）√ （4）×
2．定点P不在△ABC所在平面内，过P作平面α，使△ABC的三个顶点到α的距离相等，这样的平面共有 4 个。
3．给出以下四个命题：（1）若空间四点不共面，则其中无三点共线；（2）若直线上有一点在平面外，则该直线在平面外；（3）若直线a,b,c中，a与b共面且b与c共面，则a与c共面；（4）两两相交的三条直线共面。其中所有正确命题的序号是 (1)(2) 。
4．如图，已知 （A,B不重合）
上海油压工作室 过A在平面α内作直线AC，过B在平面β内作直线BD。
上海油压工作室 求证：AC和BD是异面直线。
证明：（反证法）若AC和BD不是异面直线，
设确定平面γ，则由题意可知：平面α和γ都过AC和AC外一点B，所以两平面重合。
上海油压工作室 同理可证平面β和γ也重合，所以平面α和β也重合。
这与已知条件平面α和β相交矛盾。
所以AC和BD是异面直线。
第3课 空间中的平行关系
【考点导读】
1．掌握直线和平面平行、两个平面平行的判定定理和性质定理。
2．明确定义与定理的不同，定义是可逆的，既是判定也是性质，而判定定理与性质定理多是不可逆的。
上海油压工作室 3．要能灵活的对“线线平行”、“线面平行”和“面面平行”进行转化。
【基础练习】
上海油压工作室 1．若 为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是 异面或相交。
上海油压工作室 2．给出下列四个命题:
①垂直于同一直线的两条直线互相平行. ②垂直于同一平面的两个平面互相平行.
③若直线 与同一平面所成的角相等,则 互相平行.
④若直线 是异面直线,则与 都相交的两条直线是异面直线.
其中假命题的个数是 4 个。
3．对于任意的直线l与平面a,在平面a内必有直线m,使m与l 垂直 。
上海油压工作室 4. 已知a、b、c是三条不重合的直线，α、β、r是三个不重合的平面，下面六个命题：
①a∥c，b∥c a∥b；②a∥r，b∥r a∥b；③α∥c，β∥c α∥β；
④α∥r，β∥r α∥β；⑤a∥c，α∥c a∥α；⑥a∥r，α∥r a∥α．
其中正确的命题是 ①④ 。
【范例导析】
上海油压工作室 例1．如图，在四面体ABCD中，截面EFGH是平行四边形．
上海油压工作室 求证：AB∥平面EFG．
证明 ：∵面EFGH是截面．
∴点E，F，G，H分别在BC，BD，DA，AC上．
上海油压工作室 ∴EH 面ABC，GF 面ABD，
上海油压工作室 由已知，EH∥GF．∴EH∥面ABD．
又 ∵EH 面BAC，面ABC∩面ABD=AB
∴EH∥AB．
上海油压工作室 ∴AB∥面EFG．
例2． 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，并且CM=DN.
求证:MN∥平面AA1B1B.
上海油压工作室 分析：“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”是可以互相转化的。本题可以采用任何一种转化方式。
上海油压工作室 简证：法1：把证“线面平行”转化为证“线线平行”。
即在平面ABB1A1内找一条直线与MN平行，如图所示作平行线即可。
上海油压工作室 法2：把证“线面平行”转化为证“线线平行”。连CN并延长交直线BA于点P，
上海油压工作室 连B1P，就是所找直线，然后再设法证明MN∥B1P.
上海油压工作室 法3：把证“线面平行”转化为证“面面平行”。
上海油压工作室 过M作MQ//BB1交BC于B1，连NQ,则平面MNQ与平面ABB1A1平行，
从而证得MN∥平面ABB1A1.
点评：证明线面或面面平行的时候一定要注意相互的转化，非常灵活。
【反馈演练】
上海油压工作室 1．对于平面 和共面的直线 、 下列命题中真命题是（3）。
（1）若 则 （2）若 则
上海油压工作室 （3）若 则 （4）若 、 与 所成的角相等，则
2. 设a、b是两条异面直线，那么下列四个命题中的假命题是 （2） 。
上海油压工作室 （1）经过直线a有且只有一个平面平行于直线b
上海油压工作室 （2）经过直线a有且只有一个平面垂直于直线b
上海油压工作室 （3）存在分别经过直线a和b的两个互相平行的平面
上海油压工作室 （4）存在分别经过直线a和b的两个互相垂直的平面
3．关于直线a、b、l及平面M、N，下列命题中正确的是（4） 。
上海油压工作室 （1）若a∥M，b∥M，则a∥b （2）若a∥M，b⊥a，则b⊥M
（3）若a M，b M，且l⊥a，l⊥b，则l⊥M （4）若a⊥M，a∥N，则M⊥N
4．“任意的 ，均有 ”是“任意 ，均有 ”的 充要条件 。
5.在正方体AC1中，过A1C且平行于AB的截面是 面A1B1CD .
上海油压工作室 6．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，经过其对角线BD1的平面分别与棱AA1,CC1相交于E,F两点，则四边形EBFD!的形状为 平行四边形 。
7. 已知Ｐ为平行四边形ＡＢＣＤ所在平面外一点，Ｍ为ＰＢ的中点，
求证：ＰＤ∥平面ＭＡＣ．
证明 连ＡＣ交ＢＤ于Ｏ，连ＭＯ，
则ＭＯ为△ＰＢＤ的中位线，
∴ＰＤ∥ＭＯ，∵ＰＤ 平面ＭＡＣ，ＭＯ平面ＭＡＣ，
上海油压工作室 ∴ＰＤ∥平面ＭＡＣ．
8．如图，已知 是平行四边形 所在平面外一点， 、 分别是 、 的中点 （1）求证： 平面 ；（2）若 ， ， 求异面直线 与 所成的角的大小
上海油压工作室 略证：（1）取PD的中点H，连接AH，
为平行四边形
(2): 连接AC并取其中点为O，连接OM、ON，则OM平行且等于BC的一半，ON平行且等于PA的一半，所以 就是异面直线 与 所成的角，由 ， 得，OM=2，ON=
所以 ，即异面直线 与 成 的角
9．两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求证：MN∥平面BCE。
证法一：作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，
则MP∥AB，NQ∥AB。
∴MP∥NQ，又AM=NF，AC=BF，
上海油压工作室 ∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45°
∴Rt△MCP≌Rt△NBQ
∴MP=NQ，故四边形MPQN为平行四边形
∴MN∥PQ
∵PQ 平面BCE，MN在平面BCE外，
上海油压工作室 ∴MN∥平面BCE。
证法二：如图过M作MH⊥AB于H，则MH∥BC，
连结NH，由BF=AC，FN=AM，得
上海油压工作室 ∴ NH//AF//BE
上海油压工作室 由MH//BC, NH//BE得:平面MNH//平面BCE
∴MN∥平面BCE 。
第4课 空间中的垂直关系
【考点导读】
1．掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理，并能用它们证明和解决有关问题。
上海油压工作室 2．线面垂直是线线垂直与面面垂直的枢纽，要理清楚它们之间的关系，学会互相转化，善于利用转化思想。
【基础练习】
1．“直线 垂直于平面 内的无数条直线”是“ ”的 必要 条件。
2．如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的位置关系是 平行或相交 。
3．在正方体中，与正方体的一条对角线垂直的面对角线的条数是 6 。
4．两个平面互相垂直，一条直线和其中一个平面平行，则这条直线和另一个平面的位置关系是平行、相交或在另一个平面内 。
5．在正方体 中，写出过顶点A的一个平面__AB1D1_____，使该平面与正方体的12条棱所在的直线所成的角均相等(注：填上你认为正确的一个平面即可，不必考虑所有可能的情况)。
【范例导析】
例1．如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.
上海油压工作室 （1）证明PA//平面EDB； （2）证明PB⊥平面EFD.
解析：本小题考查直线与平面平行,直线与平面垂直基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.
上海油压工作室 证明：（1）连结AC,AC交BD于O,连结EO.
∵底面ABCD是正方形,∴点O是AC的中点
上海油压工作室 在 中,EO是中位线,∴PA // EO
而 平面EDB且 平面EDB,
所以,PA // 平面EDB
（2）∵PD⊥底面ABCD且 底面ABCD,∴
上海油压工作室 ∵PD=DC,可知 是等腰直角三角形,而DE是斜边PC的中线,
同样由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC.
上海油压工作室 ∵底面ABCD是正方形,有DC⊥BC,∴BC⊥平面PDC.
上海油压工作室 而 平面PDC,∴ . ②
上海油压工作室 由①和②推得 平面PBC. 而 平面PBC,∴
又 且 ,所以PB⊥平面EFD.
例2．如图，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，CE ＝CA ＝2 BD ，M 是EA 的中点，
上海油压工作室 求证：（1）DE ＝DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ；
（3）平面DEA ⊥平面ECA。
分析：（1）证明DE ＝DA ，可以通过图形分割，证明△DEF ≌△DBA。（2）证明面面垂直的关键在于寻找平面内一直线垂直于另一平面。由（1）知DM ⊥EA ，取AC 中点N ，连结MN 、NB ，易得四边形MNBD 是矩形。从而证明DM ⊥平面ECA。
上海油压工作室 证明：（1）如图，取EC 中点F ，连结DF。
∵ EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，得DB ⊥平面ABC 。
∴ DB ⊥AB ，EC ⊥BC。
∵ BD ∥CE ，BD ＝ CE ＝FC ，
上海油压工作室 则四边形FCBD 是矩形，DF ⊥EC。
又BA ＝BC ＝DF ，∴ Rt△DEF ≌Rt△ABD ，所以DE ＝DA。
（2）取AC 中点N ，连结MN 、NB ，
上海油压工作室 ∵ M 是EA 的中点，∴ MN EC。
上海油压工作室 由BD EC ，且BD ⊥平面ABC ，可得四边形MNBD 是矩形，于是DM ⊥MN。
∵ DE ＝DA ，M 是EA 的中点，∴ DM ⊥EA ．又EA MN ＝M ，
∴ DM ⊥平面ECA ，而DM 平面BDM ，则平面ECA ⊥平面BDM。
上海油压工作室 （3）∵ DM ⊥平面ECA ，DM 平面DEA ，
∴ 平面DEA ⊥平面ECA。
上海油压工作室 点评：面面垂直的问题常常转化为线面垂直、线线垂直的问题解决。
例3．如图，直三棱柱ABC—A1B1C1 中，AC ＝BC ＝1，
∠ACB ＝90°，AA1 ＝ ，D 是A1B1 中点．
（1）求证C1D ⊥平面A1B ；（2）当点F 在BB1 上什么位置时，
会使得AB1 ⊥平面C1DF ？并证明你的结论。
分析：（1）由于C1D 所在平面A1B1C1 垂直平面A1B ，只要证明C1D 垂直交线A1B1 ，由直线与平面垂直判定定理可得C1D ⊥平面A1B。（2）由（1）得C1D ⊥AB1 ，只要过D 作AB1 的垂线，它与BB1 的交点即为所求的F 点位置。
上海油压工作室 证明：（1）如图，∵ ABC—A1B1C1 是直三棱柱，
上海油压工作室 ∴ A1C1 ＝B1C1 ＝1，且∠A1C1B1 ＝90°。又 D 是A1B1 的中点，
上海油压工作室 ∴ C1D ⊥A1B1 .∵ AA1 ⊥平面A1B1C1 ，C1D 平面A1B1C1 ，
∴ AA1 ⊥C1D ，∴ C1D ⊥平面AA1B1B。
上海油压工作室 （2）解：作DE ⊥AB1 交AB1 于E ，延长DE 交BB1 于F ，连结C1F ，则AB1 ⊥平面C1DF ，点F 即为所求。
∵ C1D ⊥平面AA1BB ，AB1 平面AA1B1B ，
∴ C1D ⊥AB1 ．又AB1 ⊥DF ，DF C1D ＝D ，∴ AB1 ⊥平面C1DF 。
上海油压工作室 点评：本题（1）的证明中，证得C1D ⊥A1B1 后，由ABC—A1B1C1 是直三棱柱知平面C1A1B1 ⊥平面AA1B1B ，立得C1D ⊥平面AA1B1B。（2）是开放性探索问题，注意采用逆向思维的方法分析问题。
【反馈演练】
上海油压工作室 1．下列命题中错误的是（3） 。
（1）若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这一平面内所有直线
上海油压工作室 （2）若一平面经过另一平面的垂线，则两个平面互相垂直
（3）若一条直线垂直于平面内的一条直线，则此直线垂直于这一平面
（4）若平面内的一条直线和这一平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直
2．设 是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若
，且 ”为真命题的是 ①③④ （填所有正确条件的代号）
①x为直线，y，z为平面②x，y，z为平面
③x，y为直线，z为平面④x，y为平面，z为直线
⑤x，y，z为直线
3．在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可以有___4__个。
上海油压工作室 4．若 的中点 到平面 的距离为 ，点 到平面 的距离为 ，则点 到平面 的距离为_2或14________ 。
5．命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥。
命题A的等价命题B可以是：底面为正三角形，且 的三棱锥是正三棱锥。
上海油压工作室 答案：侧棱相等（或侧棱与底面所成角相等……）
上海油压工作室 6．α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线.给出四个论断：
①m⊥n ②α⊥β ③n⊥β ④m⊥α
上海油压工作室 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： 。
答案：m⊥α，n⊥β，α⊥β m⊥n或m⊥n，m⊥α，n⊥β α⊥β
上海油压工作室 7．在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=a，S D= ，在线段SA上取一点E（不含端点）使EC=AC，截面CDE与SB交于点F。
上海油压工作室 （1）求证：四边形EFCD为直角梯形；
（2）设SB的中点为M，当 的值是多少时，能使△DMC为直角三角形？请给出证明.
解：（1）∵ CD∥AB，AB 平面SAB ∴CD∥平面SAB
面EFCD∩面SAB=EF，
∴CD∥EF ∵
又 面
∴ 平面SAD，∴ 又
为直角梯形
上海油压工作室 (2)当 时， 为直角三角形 .
平面 平面 .
在 中， 为SB中点， .
上海油压工作室 2016届高考数学考点函数模型及其应用提纲专项复习教案
2011-2012学年高三数学复习导学案
13.函数模型及其应用
考纲要求：
上海油压工作室 一、自主梳理
上海油压工作室 1、三种增长型函数模型的图象与性质
2、常见的几种函数模型
二、点击高考
1、 [2011湖北卷] 放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：(t)＝02－t30，其中0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率是－10ln2(太贝克/年)，则(60)＝( )
A．5太贝克 B．75ln2太贝克 C．150ln2太贝克 D．150太贝克
2、 [2011湖北卷] 里氏震级的计算公式为：＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，
上海油压工作室 3、 [2011北京卷] 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x，则平均仓储时间为x8天，且每产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A．60 B．80 C．100 D．120
上海油压工作室 4、[2011福建卷] 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
上海油压工作室 (1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
上海油压工作室 三、堂导学
例1、[2011湖北卷] 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝xv(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)
上海油压工作室 例2、请你设计一个包装盒，如图1－4所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A、B、C、D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．
(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
四、总结
上海油压工作室 （1）求解函数应用问题的基本步骤
上海油压工作室 （2）求解函数应用问题注意事项
2016届高考数学知识函数的奇偶性归纳复习教案
一．知识点
上海油压工作室 1．定义: 设y=f(x)，定义域为A，如果对于任意 ∈A，都有 ，称y=f(x)为偶函数。
设y=f(x) ，定义域为A，如果对于任意 ∈A，都有 ，称y=f(x)为奇函数。
如果函数 是奇函数或偶函数，则称函数y= 具有奇偶性。
2.性质：
①函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称，
上海油压工作室 ②y=f(x)是偶函数 y=f(x)的图象关于 轴对称,
y=f(x)是奇函数 y=f(x)的图象关于原点对称,
③偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，
上海油压工作室 奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同，
上海油压工作室 ④若函数f(x)的定义域关于原点对称，则它可表示为一个奇函数与一个偶函数之和
⑤奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇
[两函数的定义域D1 ，D2，D1∩D2要关于原点对称]
上海油压工作室 ⑥对于F(x)=f[g(x)]:若g(x)是偶函数，则F(x)是偶函数
若g(x)是奇函数且f(x)是奇函数，则F(x)是奇函数
若g(x)是奇函数且f(x)是偶函数，则F(x)是偶函数
上海油压工作室 3．函数奇偶性的判断
上海油压工作室 ①看定义域是否关于原点对称 ；②看f(x)与f(-x)的关系；
二．例题选讲
例1．判断下列函数的奇偶性
(1) ； (2) ;
(3) ; (4)
上海油压工作室 解：（1）定义域为 ，对称于原点，又
， 为奇函数
上海油压工作室 （2）由 得定义域为 ，关于原点不对称，所以 没有奇、偶性。
（3）由 且 得定义域为 ，对称于原点
，得 ，知 是奇函数
上海油压工作室 （4）定义域为 ，对称于原点，
上海油压工作室 当 时， ，所以
当 时， ，所以 ，故 是奇函数
上海油压工作室 例2．已知g(x)为奇函数， ，且f(-3)= ，求f(3)；
上海油压工作室 解： ，
上海油压工作室 ，将两式相加，结合g(x)为奇函数，可得：
上海油压工作室 变式：已知函数f(x)，当x<0时，f(x)=x2+2x-1
① 若f(x)为R上的奇函数，能否确定其解析式？请说明理由。
上海油压工作室 ② 若f(x)为R上的偶函数，能否确定其解析式？请说明理由。
解：① 可确定: ②不可确定: 处没有定义；
例3．函数 的定义域为D= ，且对于任意的 ，都有
；（1）求 的值； （2）判断 的奇偶性并证明；
（3）如果 ， ，且 在 上是增函数，求 的取值范围。
解：（1）令 可得：
（2）令 可得： ；再令 可得： ；
所以： 为偶函数
（3） ，
原不等式可化为：
上海油压工作室 又 在 上是增函数
解得： 或 或
变式一：定义在实数集上的函数f(x)，对任意x，y∈R，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)?f(y)且
上海油压工作室 f(0)≠0 ；①求证：f(0)=1 ；②求证：y=f(x)是偶函数；
证：①令x=y=0，则f(0)+f(0)=2f2(0) ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1；
上海油压工作室 ②令x=0，则f(y)+f(-y)=2f(0)?f(y)；∴f(-y)=f(y) ； ∴y=f(x)是偶函数；
上海油压工作室 变式二：设函数 是奇函数，且当 时是增函数，若f(1)=0，求不等式 的解集；
上海油压工作室 解：由 可得： ，
由前一不等式可解得； ；
由后一不等式可解得： ，
故原不等式的解集为：
例4．已知函数 是奇函数，（1）求m的值；（2）当 时，求 的最大值与最小值。
解：（1）因为 是奇函数，所以 ，即 ，得m=0
(2) 因为 ， ①当p<0时， ，所以 在 上是增函数，
②当p>0时，知 在 上是减函数，在 上是增函数；
（A）当 时， 在 上是增函数，
（B）当 时， 是 在 上的一个极小值点，且
上海油压工作室 （C）当 时， 是 在 上的一个极小值点，且f(1)<f(2)，
（D）当 时， 在 上是减函数，
2016届高考数学知识要点导数的概念及运算复习教案
导数的概念及运算
一．复习目标：
理解导数的概念和导数的几何意义，会求简单的函数的导数和曲线在一点处的切线方程．
二．知识要点：
上海油压工作室 1．导数的概念： ；
上海油压工作室 2．求导数的步骤是
3．导数的几何意义是 ．
三．前预习：
1．函数 的导数是 （ ）
2．已知函数 的解析式可 （ ）
3．曲线 上两点 ，若曲线上一点 处的切线恰好平行于弦 ，则点 的坐标为 （ ）
上海油压工作室 4．若函数 的图象的顶点在第四象限，则函数 的图象是（ ）
上海油压工作室 5．已知曲线 在 处的切线的倾斜角为 ，则 ， ．
6．曲线 与 在交点处的切线的夹角是 ．
四．例题分析：
上海油压工作室 例1．（1）设函数 ，求 ；
（2）设函数 ，若 ，求 的值．
（3）设函数 ，求 ．
解：（1） ，∴
（2）∵ ，∴
由 得： ，解得： 或
（3）
上海油压工作室 例2．物体在地球上作自由落体运动时，下落距离 其中 为经历的时间， ，若 ，则下列说法正确的是（ ）
（A）0～1s时间段内的速率为
（B）在1～1+△ts时间段内的速率为
（C）在1s末的速率为
上海油压工作室 （D）若△t＞0，则 是1～1+△ts时段的速率；
若△t＜0，则 是1+△ts～1时段的速率．
上海油压工作室 小结：本例旨在强化对导数意义的理解， 中的△t可正可负
例3．（1）曲线 ： 在 点处的切线为 在 点处的切线为 ，求曲线 的方程；
（2）求曲线 的过点 的切线方程．
解：（1）已知两点均在曲线C上. ∴
上海油压工作室 ∴ ， 可求出
∴曲线 ：
（2）设切点为 ，则斜率 ，过切点的切线方程为：
，∵过点 ，∴
解得： 或 ，当 时，切点为 ，切线方程为：
上海油压工作室 当 时，切点为 ，切线方程为：
例4．设函数 (1)证明：当 且 时， ；
(2)点 （0<x0<1）在曲线 上，求曲线上在点 处的切线与 轴， 轴正向所围成的三角形面积的表达式．（用 表示）
解：（1）∵ ，∴ ，两边平方得：
上海油压工作室 即： ，∵ ，∴ ，∴
上海油压工作室 （2）当 时， ，
曲线 在点 处的切线方程为： ，即：
上海油压工作室 ∴切线与与 轴， 轴正向的交点为
上海油压工作室 ∴所求三角形的面积为
上海油压工作室 例5．求函数 图象上的点到直线 的距离的最小值及相应点的坐标.
上海油压工作室 解：首先由 得 知，两曲线无交点.
，要与已知直线平行，须 ，
故切点：（0 , －2）. .
五．后作业： 班级 学号 姓名
上海油压工作室 1．曲线 在点 处的切线方程为（）
2．已知质点运动的方程为 ，则该质点在 时的瞬时速度为 （ ）
120 80 50
3．设点 是曲线 上的任意一点，点 处切线的倾斜角为 ，则角 的取值范围是 （ ）
4．若 ，则
上海油压工作室 5．设函数 的导数为 ，且 ，则
已知曲线
（1）求曲线 在点 处的切线方程；（2）求过点 并与曲线 相切的直线方程．
上海油压工作室 7.设曲线 ： ， 在哪一点处的切线斜率最小？设此点为
求证：曲线 关于 点中心对称.
上海油压工作室 8.已知函数 . 若 ，且 ， ，求 ．
9..曲线 上有一点 ，它的坐标均为整数，且过 点的切线斜率为正数，求此点坐标及相应的切线方程.
10.已知函数 的图像过点 .过 点的切线与图象仅 点一个公共点，又知切线斜率的最小值为2，求 的解析式.
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